SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
NINH THUẬN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày: 24 – 6 – 2012
Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút


ĐỀ:

Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 8x + 5 = 0 (1)
Giải phương trình (1)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Hãy tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho đa thức: P(x) = x3 – ax2 – 2x + 2a
Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
Xác định các giá trị của a để đa thức P(x) có 3 nghiệm phân biệt sao cho có một nghiệm là trung bình cộng của hai nghiệm còn lại .
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh rằng :

Bài 4: (1,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n lớn nhất không vượt quá 2012 sao cho M = 26n + 17 là một số chính phương (bằng bình phương của một số nguyên)

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có
Kẻ AD là đường phân giác trong của góc (với điểm D nằm trên cạnh BC). Gọi BC = a, CA = b và AB = c
Tính các đoạn thẳng DB và DC theo a, b, c
Chứng minh rằng: a2 – b2 = bc
Chứng minh rằng:

-----HẾT-----















ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 8x + 5 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1)




b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Hãy tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1,x2 = 82 – 2.5 = 54
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho đa thức: P(x) = x3 – ax2 – 2x + 2a
a) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
P(x) = x3 – ax2 – 2x + 2a = x2(x – a) – 2(x – a) = (x – a)(x +
)(x -
)
b) Xác định các giá trị của a để đa thức P(x) có 3 nghiệm phân biệt sao cho có một nghiệm là trung bình cộng của hai nghiệm còn lại .
P(x) = (x – a)(x +
)(x -
) = 0


Có 3 trường hợp:
*


*

*

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện
.
Chứng minh rằng :

Với a > 0, b > 0, c > 0, ta có:
*
suy ra: ay = xb; xc = az; yc = bz
Do đó: 2ay = 2

2xc = 2

2cy = 2

* (a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz + ay + bx + xc + az + yc + bz
= ax + by + cz + 2ay + 2xc + 2yc
= ax + by + cz +
+
+

= (
)2
Vậy:

Bài 4: (1,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n lớn nhất không vượt quá 2012 sao cho M = 26n + 17 là một số chính phương (bằng bình phương của một số nguyên)
Đặt: 26n + 17 = k2 (
)

k
228 và k là số lẻ
* k = 227, ta có:
(loại)
* k = 225, ta có:
(loại)
* k = 223, ta có:

Vậy: n = 223 thì M = 26n + 17 là một số chính phương
Bài 5: (3,0 điểm)



a)Tính các đoạn thẳng DB và DC theo a, b, c
* Cách 1: AD là phân giác của tam giác ABC, nên:


Do đó: DC = BC – BD =

* Cách 2: Xét hai tam giác ABC và ACD, ta có:

chung




Do đó: BD = BC – CD = a -

b) Chứng minh rằng: a2 – b2 = bc
Ta có: