BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC VIET
CÂU 1: Cho phương trình x + mx + 1 = 0 ( m là tham số)
Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
2

a) x12 + x22
b) x13 + x23
c)
CÂU 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
a) 3x1 + 2x2 = 1
b) x12 -x22 = 6
c) x12 + x22 = 8
CÂU 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
CÂU 4: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số )
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
CÂU 5: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT trên. Với giá trị nào của m thì A = x12 + x22 đạt GTNN Tìm giá trị đó.
CÂU 6: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Câu 7: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
Câu 8: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1-x2 = 4
Câu 9: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.
Câu 10: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để PT có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của PT
Câu 11: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức
= 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải PT với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
, x2 thoả mãn

c) Tìm các giá trị của m để PT (1) có nghiệm x1
2

Câu 13: Cho phương trình 2 x + ( 2m−1 ) x+m−1=0 với m là tham số. a) Giải PT khi m=2 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn:

.

2

Câu 14: Cho phương trình x −2 x +m−3=0 với m là tham số.
b) Tìm giá trị của

m

để PT trên có hai nghiệm phân biệt

Câu 15: Cho phương trình
a) Giải phương trình khi

với

a=3 và

x1 , x2

a) Giải phương trình khi
2

thoả mãn điều kiện:

x 1−2 x 2 + x 1 x 2=−12

a, b là tham số.

.

a, b để PT trên có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện:
b) Tìm giá trị của
Câu 16: Cho PT

2

2 x −( m+3 ) x+m=0

(1) với

m=3 .

m

là tham số.

{x1−x2=3 ¿ ¿¿¿

a) Giải phương trình khi

m=2

.
.

.

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương
trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =

|x 1−x 2|

HƯỚNG DẪN GIẢI
Giải: câu 1
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1
a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2
b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nên

=

Giải câu 2:
Để phương trình có nghiệm thì ' 0  m 1
a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)

b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

Giải hệ (1), (2) ta được x1=

; x2 =

Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện)
c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2  4 - 2m = 8  m = -2 (thoả mãn)
Giải câu 3
a) Ta có

' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1. PT đã cho có nghiệm  '

0 m -

b ) Theo hệ thức Viét ta có
Từ (1) ta có m =
thay vào (2) ta được
hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải câu 4 :

Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:

Ta có (2)  6x1x2 = 6 + (3). Cộng vế theo vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8
Giải câu 5: Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên PT luôn có nghiệm với mọi
giá trị của m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
 x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)
= 4m2 - 10m +14 =
Dấu bằng xẩy ra khi m =

.

Vậy Amin =

khi

m=

Giải câu 6:
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1.
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7

(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7

4m2 + 3 = 7

m2 = 1

Giải câu 7: a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 - 3 – 4m 0 4m
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Giải câu 8:
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2

∆' = 9 - m ≥ 0

Theo hệ thứcViét ta có
Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4

(3)

m≤9

Từ (1) và (3)
x1 = 5, thay vào (1)
x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Giải câu 9

(1).

m = ± 1.

a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆' = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 =

; x2 =

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆' > 0

(m + 1)2 - m2 > 0

2m + 1 > 0

Phương trình có nghiệm x = - 2

m2 - 4m = 0

m>

(*)

4 - 4 (m + 1) + m2 = 0

(thoả mãn điều kiện (*))

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.

Giải câu 10
a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0

.

b) Phương trình có 2 nghiệm khi:
∆' = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0

m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng

Ta có x1.x2 = 5

m + 1 = 5m - 5

Với m =

=5

ta có phương trình:

m.
.

x2 - 3x +

x2 - 6x + 5 = 0

Khi đó x1 + x2 =
Giải câu 11:
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0

x (x + 8) = 0

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆'

(m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0
m2 - m + 4 > 0

m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
đúng

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi ét ta có:

m

Ta có

= 10

(x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10

4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10

4m2 - 6m + 10 = 10
c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8

x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Giải câu 12: x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0
a+b+c=1-6+5=0

x1 = 1; x2 = 5

b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0

4 + 2m + 10 - m + 6 = 0

m = - 20

c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó:
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Giải câu 13
2
a) Với m=2 , ta có phương trình: 2 x + 3 x +1=0 . Các hệ số của phương trình thoả mãn

a−b+c =2−3+1=0 nên phương trình có các nghiệm:

x 1=−1

2

,

x 2=−

1
2 .

2

b) Phương trình có biệt thức Δ=( 2 m−1 ) −4 . 2 . ( m−1 )=( 2 m−3 ) ≥0 nên phương trình luôn có

hai nghiệm

x1 , x2

Điều kiện đề bài
2

với mọi

m

. Theo định lý Viet, ta có:

4 x 21 +2 x 1 x 2 + 4 x 22=1

⇔ 4 m −7 m+3=0

.

2

{

2m−1
x1+x2=− ¿ ¿¿¿
2
.

⇔ 4 ( x 1 + x 2 ) −6 x 1 x 2=1

2

. Từ đó ta có: ( 1−2 m ) −3 ( m−1 )=1

Phương trình này có tổng các hệ số a+b +c=4+(−7 )+3=0 nên phương trình này có các
nghiệm

. Vậy các giá trị cần tìm của

m

là

.

2
ta có phương trình: x +3 x−4=0 .

Giải câu 15: a) Khi a=3 và

Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x 1=1 , x 2 =−4 .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ⇔

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có

Bài toán yêu cầu

{x1−x2=3 ¿ ¿¿¿

(*)

(1).

⇔

⇔

Từ hệ (2) ta có:

{x1−x2=3 ¿ ¿¿¿ (2).

, kết hợp với (1) ta được
. Các giá trị này đều t/m điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.

2
Giải câu 16: a) Với m=2 phương trình trở thành 2 x −5 x+2=0 .

nên phương trình có hai nghiệm x 1=2 ,

x 2=

1
2 .

2

2

2
b) Phương trình có biệt thức Δ=( m+3 ) −4 . 2 . m=m −2 m+9=( m−1 ) +8> 0 với mọi

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 . Khi đó theo định lý Viet thì
Biểu thức A = |x 1−x 2| =

√ ( x −x ) = √ ( x +x ) −4 x x
1

2

2

1

2

2

1 2

1
1
m2 −2 m+9= √ ( m−1 )2 +8
√
2
2
.
2

Do ( m−1 ) ≥0 nên
Dấu bằng xảy ra

=

√(

√ ( m−1 )2+8≥√ 8=2 √ 2 , suy ra A  √ 2 .

⇔ m=1

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là √ 2 , đạt được khi m=1 .

)

m+3 2 m
−4
2
2 =

{

m

.

m+3
x1+x2= ¿ ¿¿¿
2
.