Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E
a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chứng minh: CD = CE
c) Chứng minh: MN // DE


a) Ta có:
(gt)
Vì hai điểm M và N cùng nhìn đoạn AB dưới góc 900, nên tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm của đường tròn này là trung điểm I của AB.
b) Có:
(2 góc cùng phụ với
)

(2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
CD = CE
c) Có
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (I))

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))
Suy ra :
// DE (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên cung AC lấy điểm E sao cho
; ED cắt AB tại I
a) Chứng minh tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn
b) Kẻ AH và BK vuông góc với CE. Chứng minh AH . KE = BK. HE
c) Tính theo R diện tích hình quạt EOBC


a) Xét tứ giác EIOC có
(gt);
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>
, do đó

Vậy tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn
b) Ta có AB
CD (gt) => D là điểm chính giữa của

nên
=>
(góc nhội tiếp chắn
)
Xét hai tam giác vuông AHE và BKE có:
;
=>

=>
hay AH . KE = BK . HE
c) Sđ

Sđ

Diện tích hình quạt EOBC là:
S =
(đvdt)

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao AH và BK của tam giác cắt đường tròn tại D và E, AH cắt BK tại I.
a) Chứng minh các tứ giác KIHC và AKHB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tam giác IBD cân.
c) Chứng minh
BIC =
BDC từ đó suy ra độ dài đường tròn ngoại tiếp
BIC theo R.
d) Chứng minh CO
HK.












a) Tứ giác KIHC có
=
= 900 (gt)


+
= 900 + 900 = 1800
Vậy tứ giác KIHC nội tiếp đường tròn đường kính IC.
Tứ giác AKHB có
=
= 900 (gt)

hai đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới một góc vuông
Vậy tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
b)
=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

=
( cùng bù
)

=
. Vậy
IBD cân tại B
c) Xét
BIC và
BDC có
BC chung

IBD cân có BC là đường cao nên cũng là đường phân giác

=

IB = BD (vì
IBD cân tại B)
Vậy
BIC =
BDC (c.g.c)
Do đó đường tròn ngoại tiếp hai
BIC và
BDC đều bằng nhau
Mà độ dài đường tròn ngoại tiếp
BDC bằng 2
R
nên độ dài đường tròn ngoại tiếp
BIC bằng 2
R

Bài 4: Từ 1 điểm A bên ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến AB (với B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến đường tròn (O) (với M nằm giữa A, N). Gọi I là trung điểm của MN.
a. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn
b. Tia phân giác của
cắt MN tại D, cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AB = AD
c. Cho
. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BM và dây BM
d. Cho
. Tính thể tích hình nón được tạo thành khi quay (BOM xung quanh cạnh OB.











a. C/m: Tứ giác ABOI nội tiếp:
NI = IM (gt)


( tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính OA

b. C/m: AB = AD


c. Gọi S là diện tích hình viên phân cần tìm

(BOM đều do OB = OM = R và



d. Thể tích hình nón:
(đvdt)

Bài 5: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là điểm bên ngoài đường tròn sao cho AB, AC cắt đường tròn (O)